自等价空间与自由环路空间

设 M 为单连通闭定向 N 维流形。我们证明对任意系数域，存在交换分次代数的自然同态 $\Psi : H_\ast (\Omega {aut}_1 M) \to H_{\ast +N}(M^{S^1})$，其中 $H_\ast (M^{S^1})$ 是由 Chas-Sullivan 定义的环路代数。一如惯例，${aut}_1 X$（相应地 $\Omega X$）表示空间 X 的同伦于恒等映射的自等价么半群（相应地基于点的环路空间）。此外，若 $\bk$ 特征为零，则 $\Psi$ 给出同构 $\pi_n(\Omega {aut}_1 M) \otimes \bk \cong \hH^{n+N}_{(1)}$，其中 $\displaystyle \oplus_{l=1}^\infty \hH^n_{(l)}$ 表示 $H^\ast (M ^{S^1})$ 上的 Hodge 分解。