余各向同性李双代数与互补对偶泊松齐性空间

量子齐性空间是具有量子群协变性的非交换空间。其半经典对应为泊松齐性空间，即李群的商流形 $M=G/H$，配备有额外的泊松结构 $\pi$，且与 $G$ 上的泊松-李结构 $\Pi$ 相容。由于 $\Pi$ 的无穷小版本在李代数 $\frak g=\mbox{Lie}(G)$ 上定义唯一的李双代数结构 $\delta$，我们借助李双代数对偶性的思想，以研究关于余各向同性李双代数的给定齐性空间 $M$ 的互补对偶齐性空间 $M^\perp=G^\ast/H^\perp$ 之概念。进而，通过考量约化齐性空间与对称齐性空间的自然概念，我们将这些概念推广至 $M^\perp$，从而表明由它们产生出 $M$ 与 $M^\perp$ 之间更为丰富的对偶框架。为分析这些概念的物理含义，我们充分研究了 $M$ 为闵可夫斯基或（反-）德西特泊松齐性时空的情形，并在著名的 $\kappa$-变形情形下显式构造了相应的互补对偶约化与对称空间 $M^\perp$，其中宇宙学常数 $\Lambda$ 作为显式参数引入以同时描述所有洛伦兹空间。特别地，$M^\perp$ 为约化空间这一事实被证明为 $M$ 的量子类比的表示论提供了自然条件，确保非交换时空坐标间存在具物理意义的测不准关系。最后，尽管这些对偶空间 $M^\perp$ 一般不被赋予 $G^\ast$-不变度量，我们表明其几何可借助 $K$-结构来描述。