Beurling 变换的渐近方差

我们研究了共形映射的无穷小变形、拟共形畸变估计与积分均值谱之间的相互作用。根据 McMullen 的工作，像域边界 Hausdorff 维数的二阶导数自然地与 Beurling 变换的渐近方差相关。鉴于 Smirnov 的一个定理指出$k$-拟圆的维数至多为$1+k^2$，自然可以预期最大渐近方差$\Sigma^2 = 1$。在本文中，我们证明了$0.87913 \le \Sigma^2 \le 1$。对于下界，我们给出了多项式 Julia 集的例子，这些集合是维数为$1+ 0.87913 \, k^2$的$k$-拟圆（针对小$k$值），从而表明$\Sigma^2 \ge 0.87913$。该构造的关键要素是对畸变$k$的良好估计，这优于在适当参数空间中直接使用$\lambda$-引理所得的结果。最后，我们开发了一种新的分形逼近方案，用近乎圆形的多项式 Julia 集来评估$\Sigma^2$。