维数为 1+k^2 的拟圆周不存在

S. Smirnov 的一个著名定理指出，$k$-拟圆周的豪斯多夫维数至多为 $1+k^2$。在此，我们证明精确的上界 $D(k) = 1+\Sigma^2 k^2 + \mathcal O(k^{8/3-\varepsilon})$，其中 $\Sigma^2$ 是贝林变换在 $L^\infty$ 单位球上取的最大渐近方差。量 $\Sigma^2$ 由 K. Astala、A. Perälä 和 I. Prause 的联合工作引入，其中证明了 $0.879 < \Sigma^2 \le 1$，而最近 H. Hedenmalm 惊人地发现 $\Sigma^2 <1$。我们从关联积分均值谱的普适界与共形映射渐近方差的更一般陈述，推导出 $D(k)$ 的渐近展开。我们的证明将分形逼近技术与 J. Becker 和 Ch. Pommerenke 用于估计积分均值的经典论证相结合。