超平面排列 II：Szenes 公式与 Eisenstein 级数

本文旨在将单变量 Eisenstein 级数的若干公式推广到多变量情形。例如关于偶数整数处 zeta 函数值的公式 $2\zeta(2k) = (2\pi)^{2k} \frac{B_{2k}}{(2k)!} = Res_{z=0}(\frac{1}{z^{2k}(1-e^z)})$，其用伯努利数表示。A. Szenes 在多变量中证明了 Witten 引入的 zeta 函数值的类似留数公式。我们通过在一个格上平均具有超平面排列中极点的有理函数来引入一些 Eisenstein 级数。我们通过将其与这些 Eisenstein 级数的常数项相联系，给出了 Szenes 留数公式的另一种证明。