分形由流形及其他图状空间的逼近

我们利用拟酉等价的概念，定义了图状度量测度空间与离散加权图上的能量形式之间的距离。我们将此结果应用于度量图与图状流形（例如嵌入度量图的小邻域）作为带有与典型拉普拉斯算子相关联的能量形式的度量测度空间，例如度量图上的 Kirchhoff 拉普拉斯算子，以及流形（带边界）上的（Neumann）拉普拉斯算子，并用几何量表示该关联能量形式的距离。我们在 arXiv:1704.00064 中已证明，在 pcf 分形上能量形式定义中使用的加权图上的能量形式逼近序列以拟酉等价距离趋于 0 的意义收敛。由拟酉等价的传递性，我们得出结论：可以用度量图与图状流形上的一列能量形式逼近 pcf 分形上的能量形式。特别地，我们证明存在一列区域收敛于 pcf 分形，使得相应的（Neumann）能量形式收敛于分形能量形式。能量形式的拟酉等价蕴含了关联拉普拉斯算子预解式之差的范数估计。作为推论，拉普拉斯算子的合适函数在算子范数下也接近或收敛，例如相应的热算子与谱投影。在上述所有例子中，谱与特征函数同样成立。