用于非常高阶间断 Galerkin 方法的近似张量积预条件子

本文中，我们为多项式次数高于通常使用的间断 Galerkin 方法开发了一种新的基于张量积的预条件子。该预条件子使用一种自动的、纯代数方法，通过几个小的一维矩阵的 Kronecker 积来近似精确的块 Jacobi 预条件子。传统的基于矩阵的预条件子需要 $\mathcal{O}(p^{2d})$ 存储和 $\mathcal{O}(p^{3d})$ 计算量，其中 $p$ 是所用基多项式的次数，$d$ 是空间维度。我们基于 SVD 的张量积预条件子需要 $\mathcal{O}(p^{d+1})$ 存储、二维空间中 $\mathcal{O}(p^{d+1})$ 计算量以及三维空间中 $\mathcal{O}(p^{d+2})$ 计算量。结合无矩阵 Newton-Krylov 求解器，这些预条件子允许在 2D 中以每个自由度关于 $p$ 的线性时间求解 DG 系统，并将 3D 中的计算复杂度从 $\mathcal{O}(p^9)$ 降低到 $\mathcal{O}(p^5)$。数值结果在 2D 和 3D 中针对平流和 Euler 方程给出，使用高达 $p=15$ 的多项式次数。对于许多测试用例，与精确块 Jacobi 预条件子相比，该预条件子产生了相似的迭代次数，并且对于高多项式次数 $p$ 性能显著改善。