具有内部奇异性势的二维Grushin方程的近似可控性

本文致力于研究矩形区域$(x,y) \in (-1,1) \times (0,1)$上带有反平方势的Grushin方程的近似可控性。该模型对应于Boscain和Laurent研究的$\mathbb{R}^2$上Grushin度量的Laplace-Beltrami算子的热方程。该算子在直线$\{ x=0 \}$上既是退化的又是奇异的。通过对偶系统的唯一延拓来研究近似可控性。对于所研究的奇异性范围，无论退化程度如何，近似可控性都被证明成立。由于内部反平方奇异性，本文的一个关键点是适定性的研究。通过设计通过奇异性的合适传输条件，构造了奇异算子的延拓。然后，唯一延拓依赖于二维解在一个变量上的傅里叶分解以及傅里叶分量所满足的一维热方程的Carleman估计。Carleman估计使用了合适的Hardy不等式。