具有反平方无穷势阱的抛物型方程的近似边界能控性

我们考虑有界区域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的热算子，其带有随到 $\partial \Omega$ 距离的反平方发散的临界奇异势。尽管此类算子的零边界能控性最近在 arXiv:2112.04457 中于所有维数下被证明，但其关键假设为：(i) $\Omega$ 是凸的，(ii) 控制必须沿整个 $\partial \Omega$ 给定，以及 (iii) 奇异势的强度必须限制在特定子区间内。在本文中，我们转而证明此类算子的一个确定性的近似边界控制结果，即我们 (i) 不假设 $\Omega$ 的凸性，(ii) 允许控制局部化于任意 $x_0 \in \partial \Omega$ 附近，以及 (iii) 处理奇异势强度参数的整个取值范围。此外，我们降低了对 $\partial \Omega$ 及低阶系数的正则性要求。关键创新在于在 $x_0$ 附近的局部 Carleman 估计，其中精心选取的权函数同时考虑了适当的边界条件与 $\partial \Omega$ 的局部几何。