3D不可压理想MHD系统的精确边界可控性

我们考虑三维理想MHD系统在域 $\Omega' \subset \mathbb{R}^3$ 上的情况，其中 $\Gamma$ 为边界 $\partial \Omega$ 的一部分，我们同时指定 $u\cdot n$ 和 $b\cdot n$，而在 $\partial \Omega' \setminus \Gamma$ 上 $u\cdot n = b\cdot n =0$。我们证明了该系统的边界可控性，即可以对边界数据进行规范，使得具有初始状态 $(u_0,b_0)$ 的唯一解在有限时间内达到另一个状态 $(u_1,b_1)$，其中 $u_0,b_0,u_1,b_1$ 是任意的可压缩矢量场，满足不可渗透边界条件，并且可以扩展到通过 $\Gamma$ 扩展得到的任意有界域上的具有相同性质的矢量场。作为副产品，我们给出了不可压理想MHD系统的第一个局部良好可定性证明，该证明不使用Elsasser变量，因此适用于具有充分Sobolev正则性的任意有界域。我们还提供了一种新的简单2D可控性证明。