具有伪Anosov元素的曲面上任意Baumslag-Solitar作用均有有限轨道

我们考虑 $f, h$ 同胚生成在闭曲面 $S$ 上的忠实 $BS(1,n)$-作用，即 $h f h^{-1} = f^n$，对某个 $n\geq 2$。根据 \cite{GL}，必要时用合适的迭代替换 $f$，我们可以假设存在该作用的一个极小集 $\Lambda$，包含于 $Fix(f)$ 中。这里，我们假设 $f$ 和 $h$ 在 $\Lambda$ 的邻域内是 $C^1$ 的，且任意点 $x\in\Lambda$ 承认一个 $h$-不稳定流形 $W^u(x)$。利用 Bonatti 的技术，我们证明要么存在整数 $N$ 使得 $W^u(x)$ 包含于 $Fix(f^N)$ 中，要么 $h$ 的微分范数有一个仅依赖于 $n$ 和 $S$ 上黎曼度量的下界。将最后陈述与 \cite{AGX} 的结果结合，我们证明任意在 $S$ 上的忠实 $BS(1, n)$ 作用，若 $h$ 是伪Anosov同胚，则具有有限轨道。作为推论，在环面上不存在 $h$ 为 Anosov 的忠实 $C^1$-作用 $BS(1, n)$。