寡型作用的稳定子的有限性性质

如果一个群在集合上的作用对所有 $n$ 均只有有限多个 $n$ 元子集轨道，则称该作用为寡型的。我们证明，对于一大类群（包括所有具有有限虚拟上同调维数的群和所有可数线性群），当此类群在无限集上存在寡型作用时，必存在一个有限子集，其稳定子不属于 $\mathrm{FP}_\infty$ 型。这导出了置换圈积与扭曲 Brin-Thompson 群的有限性性质上的障碍。我们还证明了旗复形上作用的一个版本，并讨论了与 Boone-Higman 猜想的联系。在附录中，我们改进了 Bartholdi-Cornulier-Kochloukova 关于圈积有限性性质的准则，以及 Kropholler-Martino 关于图圈积有限性性质的准则。