$3$-一致超图中匹配的反对数 Ramsey 数

设 $n,s,$ 和 $k$ 为正整数,满足 $k\geq 3$, $s\geq 3$ 且 $n\geq ks$。$k$-一致超图中的 $s$-匹配 $M_s$ 是一组 $s$ 个两两不交的边。匹配的反对数 Ramsey 数 $\textrm{ar}(n,k,M_s)$ 是最小整数 $c$,使得对 $n$ 顶点 $k$-一致完全超图用恰好 $c$ 种颜色进行边染色时,必含一个边色互异的 $s$-匹配。2013 年,Özkahya 与 Young 提出了关于对所有 $n \geq sk$ 且 $k \geq 3$ 下 ar$(n,k,M_s)$ 精确值的猜想。Frankl 与 Kupavskii 于 2019 年的结果验证了该猜想对全部 $n \geq sk+(s-1)(k-1)$ 且 $k \geq 3$ 成立。本文旨在确定 $3s \leq n < 5s-2$ 时 ar$(n,3,M_s)$ 的值。即我们证明若 $3s<n<5s-2$ 且 $n$ 足够大,则 ar$(n,3,M_s)=\textrm{ex}(n,3,M_{s-1})+2$。此处 $\textrm{ex}(n,3,M_{s-1})$ 为 $(s-1)$-匹配的 Turán 数。因此该结果确认了 Özkahya 与 Young 猜想在 $k=3$、$3s<n<5s-2$ 且 $n$ 充分大时成立。对 $n=ks$ 且 $k\geq 3$,我们给出 $\textrm{ar}(n,k,M_{s})$ 下界的新构造,表明 Özkahya 与 Young 的猜想不成立。特别地,对 $n=3s$,我们证明对充分大的 $n$ 有 $\textrm{ar}(n,3,M_s)=\textrm{ex}(n,3,M_{s-1})+5$。