各向异性分数阶Sobolev范数

Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当缩放下）函数$f\in W^{1,p}(\rn)$的分数阶Sobolev $s$-半范数当$s\to 1^-$时收敛到$f$的Sobolev半范数。本文证明，由$\rn$上以$K$为单位球的范数定义的$f$的各向异性$s$-半范数收敛到由以$\,\ompd K$（$K$的极$L_p$矩体）为单位球的范数定义的各向异性Sobolev半范数。还确定了$s\to 0^+$时的极限行为（推广了Maz'ya和Shaposhnikova的结果）。