Kirchhoff-Love 板弯曲模型的超弱形式及 DPG 逼近

我们针对 Kirchhoff-Love 板弯曲模型的一种变体，推导并分析了一种超弱变分形式。基于此形式，我们引入了具有最优检验函数的间断 Petrov-Galerkin 类型（DPG）离散化。我们证明了超弱形式的适定性以及 DPG 格式的拟最优收敛性。该变分形式及其分析需要控制 $H^2$（标量函数的标准 Sobolev 空间）与 $H(\mathrm{div\,Div})$（分量为 $L_2$ 且二次迭代散度为 $L_2$ 的对称张量函数）中迹与跳跃及其对偶性的工具。这些工具在二维与三维空间中建立。一个具体结果涉及 $H(\mathrm{div\,Div})$ 稠密子空间中的局部化迹，它们对构造 $H(\mathrm{div\,Div})$ 逼近的基函数至关重要。为阐明理论，我们构造了最低阶基函数，并对光滑与奇异模型解进行了数值实验，证实了 DPG 方法在一致与自适应加密网格上的预期收敛行为。