使用超弱形式的高阶多边形间断 Petrov-Galerkin（PolyDPG）方法

本工作代表了使用超弱形式通过间断 Petrov-Galerkin（DPG）方法实现高阶多边形有限元方法的首次尝试。超弱变分形式是非标准的，因为所有导数权重都落在检验空间中，而大部分试探空间可以选择为 $L^2$-离散化的副本，无需跨相邻单元连续。此外，检验空间沿网格界面断开。这允许通过将包围三角形或矩形盒限制到多边形单元上来定义大多数空间，从而构造协调的多边形有限元方法，本文称之为 PolyDPG 方法。唯一需要跨单元非平凡兼容性的变量是所谓的界面或骨架变量，它们可以直接定义在单元边界上。与其他高阶多边形方法不同，得益于 DPG 方法精心设计的稳定性，PolyDPG 方法不需要特别的稳定化项。提供了形式为 $h^p$ 的收敛性证明，并通过若干说明性数值算例加以证实。这些算例包括具有 $n$ 边凸单元和高度扭曲凹单元的多边形网格，以及对沿切割均匀网格的任意界面分布的不连续材料属性的建模。由于 PolyDPG 方法具有天然的后验误差估计子，我们开发了一种多边形自适应策略，并与基于约束悬挂节点的标准自适应方案进行了比较。本工作还附带一个支持多边形和常规单元的开源 $\texttt{PolyDPG}$ 软件。