多面体集正规锥的容斥恒等式

对于非空多面体集 $P\subset \mathbb R^d$，令 $\mathcal F(P)$ 表示 $P$ 的面集，令 $N(P,F)$ 为 $P$ 在非空面 $F\in\mathcal F(P)$ 处的正规锥。我们证明函数 $\sum_{F\in\mathcal F(P)}(-1)^{\text{dim} F} 1_{F-N(P,F)}$ 在 $P$ 有界时等于 $1$，在 $P$ 无界且无直线时等于 $0$。此前，已知该公式在 Lebesgue 测度为 $0$ 的某个例外集之外处处成立，或对于多面体锥成立。不一定无直线的多面体集的情形也包含在我们的通用定理中。