紧平面集上可微函数的赋范代数

我们研究了对于完美紧平面集$X$的赋范代数$D^{(1)}(X)$的完备性及其完备化。特别地，我们构造了一个径向自吸收的紧平面集$X$，使得赋范代数$D^{(1)}(X)$不完备。这解决了Bland与Feinstein的一个问题。我们还证明，存在几类连通紧平面集$X$，其$D^{(1)}(X)$的完备性等价于$X$的点态正则性。例如，这对于所有具有空内部的、可求长连通的多项式凸紧平面集，所有星形紧平面集，以及$\mathbb{C}$中的所有若尔当弧均成立。在Bland与Feinstein的早期论文中，引入了函数的$\mathcal{F}$-导数概念，其中$\mathcal{F}$是一组合适的可求长路径，并由此引入了对应于赋范代数$D^{(1)}(X)$的一族新巴拿赫代数$D_{\mathcal{F}}^{(1)}(X)$。本文中，关于$D^{(1)}(X)$与$D_{\mathcal{F}}^{(1)}(X)$何时相等以及前者在后者中何时稠密的问题，我们获得了更强的结果。特别地，我们表明只要$X$是“$\mathcal{F}$-正则”的，等式成立。Bishop的一个例子表明$D^{(1)}(X)$的完备化未必是半单的。我们证明，当$X$中所有可求长若尔当弧的并在$X$中稠密时，$D^{(1)}(X)$的完备化是半单的。我们证明，对于所有完美紧平面集$X$，无论$D^{(1)}(X)$是否完备，$D^{(1)}(X)$的特征空间都等于$X$。特别地，赋范代数$D^{(1)}(X)$上的特征自动连续。