有理可参数化超曲面上多面体傅里叶变换的一个恒等定理

$\mathbb{R}^n$ 中的点集 $\mathcal{S}$ 称为有理可参数化超曲面，若 $\mathcal{S}=\{\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{t}): \mathbf{t} \in D\}$，其中 $\boldsymbol{\sigma}: \mathbb{R}^{n-1} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 为具定义域 $D$ 且以有理函数为分量的向量函数。$\mathbb{R}^n$ 中的广义 $n$ 维多面体是 $\mathbb{R}^n$ 中有限个凸 $n$ 维多面体的并。此类广义多面体 $\mathcal{P}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的傅里叶变换定义为 $F_{\mathcal{P}}(\mathbf{s})=\int_{\mathcal{P}} e^{-i\mathbf{s}\cdot\mathbf{x}} \,\mathbf{dx}$。我们证明：若 $O$ 是 $D$ 的满足某些明确条件的开子集，则 $F_{\mathcal{P}_1}(\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{t})) = F_{\mathcal{P}_2}(\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{t}))\ \forall \mathbf{t} \in O$ 蕴含 $\mathcal{P}_1=\mathcal{P}_2$。此外我们表明，该定理可应用于不含直线但至少含两点的二次超曲面，即特别地可应用于球面。