三维不可压 Euler 方程弱解的延拓定理及其在奇异流中的应用

我们证明了三维不可压 Euler 方程局部解的一个延拓定理。更确切地说，我们证明如果一个光滑向量场在时空区域 $\Omega\times(0,T)$ 中满足 Euler 方程，则可以选择一个 $\mathbf R^3\times (0,T)$ 上属于 $C^\beta$（对于任意 $\beta<1/3$）的容许弱解，使得这两个场在 $\Omega\times (0,T)$ 上重合。此外，人们可以控制全局解的空间支撑。我们的证明利用了不可压 Euler 方程局部下解的一个新延拓定理，以及在空间具有紧支撑的弱解背景下实现的 $C^{1/3}$ 凸积分方法。我们给出了这些想法的两个非平凡应用。首先，我们构造了无穷多个属于 $C^\beta_{\text{loc}}$ 的容许弱解，它们具有相同的涡旋片初始数据，并且在每个时刻 $t$ 于宽度为 $O(t)$ 的湍流区域之外与该数据重合。其次，给定 Euler 方程在 $\mathbf T^3\times(0,T)$ 上的任意光滑解 $v$ 以及任意开集 $U \subset \mathbf T^3$，我们构造容许弱解，使其在 $U$ 外与 $v$ 重合，并在时刻 0 处处处与之均匀接近，但却在 $U\times (0,T)$ 的一个具有全 Hausdorff 维度的子集上发生剧烈爆炸。这些解在其奇异集之外属于 $C^\beta$ 类。