带有被动标量的三维不可压缩欧拉方程：通向爆破之路？

考虑在光滑区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$ 中具有无法向流边界条件 $\bu\cdot\bhn|_{\partial\Omega} = 0$ 的带有被动标量 $\theta$ 的三维不可压缩欧拉方程。研究表明，如果向量 $\bB = \nabla q\times\nabla\theta$ 中出现零（null）点，且 $\bB$ 初始时没有零点，则光滑解会在有限时间内发生爆破；其中 $\bom = \mbox{curl}\,\bu$ 为涡度，$q = \bom\cdot\nabla\theta$ 为位势涡度。被动标量浓度 $\theta$ 的存在是检测奇点形成的这一判据的基本组成部分。本文结合 Graham 和 Henyey (2000) 关于零点邻域内 Clebsch 势不存在的运动学结果讨论了该问题。