交错群作为循环类之积 II

给定整数 $k,l\geq 2$，其中 $l$ 为奇数或 $k$ 为偶数，令 $n(k,l)$ 表示使得 $A_n$ 中每个元素均为 $k$ 个 $l$-循环之积的最大整数 $n$。2008 年，M. Herzog、G. Kaplan 与 A. Lev 猜想 $\lfloor \frac{2kl}{3} \rfloor \leq n(k,l)\leq \lfloor \frac{2kl}{3}\rfloor+1$。已知该猜想在 $k=2,3,4$ 时成立，且当 $3\mid l$ 时亦真。本文在 $3\nmid l$ 且 $k\geq 5$ 的条件下确定了 $n(k,l)$ 的精确值。作为直接推论，我们得到当 $k\geq 5$ 时 $n(k,l)<\lfloor \frac{2kl}{3}\rfloor$，这表明上述猜想在一般情况下并不成立。事实上，$n(k,l)$ 的精确值与猜想值之间的差异随 $k$ 线性增长。我们的结果也推广了 $k=2,3,4$ 的情形。