非线性电动力学中一维 Born-Infeld 方程的几乎锐利非线性散射

我们研究 (1+1) 维 Born-Infeld 方程小解的衰减，该方程是模拟非线性电磁学、弦论中的膜以及 Minkowski 时空中的极小曲面的拟线性标量场方程。由 Whitham 的工作可知，由于存在如同线性波动方程那样以光速传播的任意解，故没有衰减。然而，即便在 (1+1) 维没有全局衰减，我们仍能够证明所有整体小的 $H^{s+1}\times H^s$, $s>\frac12$ 解在光锥的严格真子集内于空间上衰减到零背景态。我们通过构造一个与动量定律相关的 Virial 恒等式（遵循 \cite{KMM,KMM1} 工作的精神）以及一个控制 $\dot H^1 \times L^2$ 能量的 Lyapunov 泛函来证明该结果。