非线性 Dirac 方程解的衰减

我们研究一大类非线性 Dirac 型方程的小解和大解的长时间行为。我们的结果分类涵盖一维无质量与有质量情形，以及一般的三维和 $n$ 维情形。在一维无质量情形中，我们证明任何整体定义的解随时间趋于无穷时，在一个以与 $t \log^{-2} t$ 成正比的速率扩张的空间区域内收敛到零。该结果不假设初始数据的小性或非线性的特定幂次，从而排除了该情形下驻定呼吸子状或孤立波结构的存在。在一维有质量情形中，已知孤立波存在。通过引入适应 Dirac 独特代数的新 virial 恒等式，我们证明在某些“全纯”奇非线性下，整体定义的小奇解随时间趋于无穷时在空间紧集上衰减到零。在 $H^1$ 范数有界但要求数据无奇偶条件的假设下，该结果被推广至三维情形，为一类重要的非线性 Dirac 模型给出了衰减证明，并为未来利用 virial 恒等式证明精心选取的 Dirac 孤立波的渐近稳定性打开了大门。最后，在高维 $n \geq 1$ 情形中，我们证明了非线性 Dirac 方程的整体解在“外光锥”区域中的 $L^2$ 衰减。这证实了呼吸子及其他超光速传播解的不存在性。我们的证明依赖于精心构造的加权 virial 恒等式。