光滑函数代数与穿越流的的全息性

设 $X$ 为光滑紧流形，$v$ 为 $X$ 上的向量场，其容许光滑函数 $f: X \to \mathbf R$ 使得 $df(v) > 0$。设 $\partial X$ 为 $X$ 的边界。我们以 $C^\infty(X)$ 记 $X$ 上光滑函数的代数，以 $C^\infty(\partial X)$ 记 $\partial X$ 上光滑函数的代数。借助 $(v, f)$，我们引入 $C^\infty(\partial X)$ 的两个子代数 $\mathcal A(v)$ 与 $\mathcal B(f)$，并证明（在温和假设下）$C^\infty(X) \approx \mathcal A(v) \hat\otimes \mathcal B(f)$，即拓扑张量积。因此，拓扑代数 $\mathcal A(v)$ 与 $\mathcal B(f)$ 作为边界数据，允许重构 $C^\infty(X)$。由此，$\mathcal A(v)$ 与 $\mathcal B(f)$ 允许恢复体流形 $X$ 的光滑拓扑类型。