具有单位圆上极点的有理矩阵符号的Toeplitz类算子:可逆性与Riccati方程

本文是Groenewald等人(Complex Anal. Oper. Theory 15, 1(2021))所开创的关于具有有理矩阵符号$\Omega$的无界Toeplitz类算子$T_\Omega$研究的延续,其中获得了$\Omega$的Wiener-Hopf型分解,并用于确定$T_\Omega$何时为Fredholm算子以及在$T_\Omega$为Fredholm时计算其Fredholm指数。由于Wiener-Hopf型分解的高度非唯一性和复杂形式,它在确定$T_\Omega$何时可逆方面似乎并无用处。在本文中,我们使用状态空间方法,通过关联的非对称离散代数Riccati方程稳定化解的存在性来刻画$T_\Omega$的可逆性,这进而导出了$\Omega$的伪典范分解以及$T_\Omega^{-1}$的具体公式。