具有单位圆上极点的有理矩阵符号的Toeplitz型算子:Fredholm特征

在近期一篇论文(Groenewald等人, {\em Complex Anal.\ Oper.\ Theory} \textbf{15:1} (2021))中,我们考虑了由有理矩阵函数$\Omega$生成的无界Toeplitz型算子$T_\Omega$,该函数在复平面的单位圆$\mathbb{T}$上具有极点。我们证明了一种Wiener-Hopf型分解,并利用该分解确定了算子$T_\Omega$的一些Fredholm性质,包括Fredholm指标。由于Wiener-Hopf型分解中中间项的下三角结构(而非对角)及缺乏唯一性,即便$T_\Omega$为Fredholm算子,也难以由该分解直接确定其核的维数,进而也难以确定其余核的维数。本文在关于Wiener-Hopf型分解的附加假设下,给出了$T_\Omega$核维数的公式。在$\Omega$为$2 \times 2$矩阵函数时,给出了Wiener-Hopf型分解中间因子核的刻画,并在许多情况下得到了核维数公式。对于$2 \times 2$情形中间因子核的刻画,部分地推广到了任意大小矩阵函数的情形。