关于反正弦分布与希尔伯特变换的一点注记

已知若 $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $L^2([-1,1], w(x)dx)$ 中的一列正交多项式，则对于多种权函数 $w(x)$，其根均按反正弦分布 $\pi^{-1} (1-x^2)^{-1}dx$ 分布。我们将其与 Tricomi 关于希尔伯特变换的一个结果相联系：若 $f(x)(1-x^2)^{1/4} \in L^2(-1,1)$ 且其希尔伯特变换 $Hf$ 在 $(-1,1)$ 上为零，则函数 $f$ 是反正弦分布的倍数 $$f(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}}\chi_{(-1,1)} \qquad \mbox{其中}~c~\in \mathbb{R}.$$ 我们还证明了一个似乎是新的局部化 Parseval 型恒等式：若 $f(x)(1-x^2)^{1/4} \in L^2(-1,1)$ 且 $f(x) \sqrt{1-x^2}$ 在 $(-1,1)$ 上均值为 0，则 $$\int_{-1}^{1}{ (Hf)(x)^2 \sqrt{1-x^2} dx} = \int_{-1}^{1}{ f(x)^2 \sqrt{1-x^2} dx}.$$