描述多项式微分下根的非局部输运方程

设 $p_n$ 为 $n$ 次多项式，其所有根均位于实线上，并依据光滑函数 $u(0,x)$ 分布。人们可能会好奇在函数的迭代微分下根的分布如何变化，即 $p_n^{(k)}$ 的根的密度如何演化。我们推导出一个具有非局部通量的非线性输运方程 $$u_t + \frac{1}{\pi}\left( \arctan{ \left( \frac{Hu}{ u}\right)} \right)_x = 0,$$ 其中 $H$ 为 Hilbert 变换。该方程有三种截然不同的紧支撑解：(1) 反正弦分布 $u(t,x) = (1-x^2)^{-1/2} \chi_{(-1,1)}$，(2) 半圆分布族 $$u(t,x) = \frac{2}{\pi} \sqrt{(T-t) - x^2}$$ 以及 (3) 包含于 Marchenko-Pastur 律中的一族解。