刻画多项式反复微分下复根演化的非局部输运方程

设 $p_n:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 为随机复多项式，其根独立同分布于复平面中径向分布 $u(r) r dr$。一个自然的问题是该根分布如何在多项式的反复（例如 $n/2$ 次）微分下演化。我们猜想 $\psi(s) = u(s) s$ 演化的平均场展开 $$\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \left( \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \psi(s) ds \right)^{-1} \psi(x) \right).$$ $\psi(s) \equiv 1$ 的演化对应于随机泰勒多项式的演化 $$p_n(z) = \sum_{k=0}^{n}{ \gamma_k \frac{z^k}{k!}} \quad \mbox{其中} \quad \gamma_k \sim \mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,1).$$ 我们讨论了一些数值例子，表明这一特解可能是稳定的。我们证明该解是线性稳定的。线性稳定性分析归结为经典的 Hardy 积分不等式。文中讨论了诸多开放问题。