多项式根密度在微分下的守恒律

设$p_n(x)$为$n$次多项式，具有$n$个互异实根，其分布服从$\mathbb{R}$上良好的概率分布$u(0,x)dx$。一个自然问题是理解当$n \rightarrow \infty$时，$p_n$的第$(t\cdot n)$阶导数的根的密度$u(t,x)$，其中$0 < t < 1$。我们导出关于$u(t,x)$演化的\emph{无穷}多条守恒律。前三条为\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}{ u(t,x) ~ dx} = 1-t, \qquad \qquad \int_{\mathbb{R}}{ u(t,x) x ~ dx} = \left(1-t\right)\int_{\mathbb{R}}{ u(0,x) x~ dx}, \qquad \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} u(t,x) (x-y)^2 u(t,y) ~ dx dy = (1-t)^3 \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} u(0,x) (x-y)^2 u(0,y) ~ dx dy. \end{align*}作者曾推测$u(t,x)$可能依照涉及Hilbert变换的非局部演化方程演化；这已在两种特殊闭式解中得到验证——因此这些守恒律指向了Hilbert变换的有趣恒等式。我们讨论了许多开放问题。