一种基于高阶多项式基、保持正性的隐式-显式格式求解可压缩 Navier-Stokes 方程

本文致力于构造求解可压缩 Navier–Stokes 方程的格式，其期望性质包括高阶空间精度、守恒性，以及在标准双曲型 CFL 时间步长约束（如 $\Delta t=\mathcal O(\Delta x)$）下密度与内能的正性保持。采用 Strang 分裂分别近似对流与扩散算子。对于对流部分（即可压缩 Euler 方程），可采用高阶精度的正性保持 Runge–Kutta 间断 Galerkin 方法。对于扩散部分，考虑内能方程而非总能量方程，并采用一阶半隐式时间离散以便于实现正性。针对应力张量采用合适的内部惩罚间断 Galerkin 方法，可确保任意高阶多项式基下动量与总能量的守恒。特别地，若内能的 Laplacian 算子由 $\mathbb{Q}^k$ 谱元法（$k=1,2,3$）近似，则可证明在 $\Delta t=\mathcal{O}(\Delta x)$ 下保持正性。因此，采用 $\mathbb{Q}^k$（$k=1,2,3$）基的完整格式在 $\Delta t=\mathcal{O}(\Delta x)$ 下是守恒且正性保持的，并对高速激波衍射引起的低密度低压等严苛问题具有鲁棒性。尽管完整格式在时间上仅为一阶精度，数值试验表明更高阶多项式基能给出更优数值解，例如能更好地分辨激波反射过程中的卷曲结构。