分数微分方程的一种新型高阶数值方案

本工作提出一种用于时间分数微分方程 (TFDEs) 的新型高效高精度数值方法。我们展示了 TFDEs 与整数阶扩展参数微分方程 (EPDE) 之间的等价性，通过维度展开实现，并建立了 EPDE 的稳定性。我们对时间离散采用 BDF-$k$ 公式，对扩展方向离散采用 Jacobi 谱点积方法。我们分析了所提方法的稳定性，并给出严格的误差估计，误差阶为 $O(\Delta t^{k} + M^{-m})$，其中 $\Delta t$ 和 $M$ 分别为时间步长和扩展方向中 collocation 节点的数目。我们还指出，计算成本和存储需求本质上与整数问题相同，即本算法的计算成本和存储量分别为 $O(N)$ 和 $O(1)$，其中 $N$ 为时间步的总数。我们给出了若干数值示例，包括线性和非线性问题，以展示所提方法的有效性并验证理论结果。