关于 Ness-Helleseth 函数差分谱的注记

设 $n\geqslant3$ 为奇整数，$u$ 为有限域 $\gf_{3^n}$ 中的元素。Ness-Helleseth 函数是 $\gf_{3^n}$ 上的二项式 $f_u(x)=ux^{d_1}+x^{d_2}$，其中 $d_1=\frac{3^n-1}{2}-1$ 且 $d_2=3^n-2$。2007 年，Ness 和 Helleseth 证明了当 $\chi(u+1)=\chi(u-1)=\chi(u)$ 时 $f_u$ 是 APN 函数，当 $\chi(u+1)=\chi(u-1)\neq\chi(u)$ 时 $f_u$ 是差分 $3$-一致的，且若 $\chi(u+1)\neq\chi(u-1)$ 且 $u\notin\gf_3$，则其差分一致性至多为 4。这里 $\chi(\cdot)$ 表示 $\gf_{3^n}$ 上的二次特征。最近，Xia 等人确定了所有 $u$ 对应的 $f_u$ 的差分一致性，并计算了满足 $\chi(u+1)=\chi(u-1)$ 或 $u\in\gf_3$ 的 $u$ 对应的 $f_u$ 的差分谱。遗留问题是 $\chi(u+1)\neq\chi(u-1)$ 且 $u\notin\gf_3$ 时 $f_u$ 的差分谱。在本文中，我们填补了这一空白。通过更仔细地研究由 Ness-Helleseth 函数 $f_u$ 产生的差分方程，我们用两个二次特征和表示了此类 $u$ 对应的 $f_u$ 的差分谱。这补充了 Xia 等人先前的工作。