广义 Ness-Helleseth 函数差分性质的进一步研究

设 $n$ 为奇正整数，$p$ 为满足 $p\equiv3\pmod4$ 的素数，$d_{1} = {{p^{n}-1}\over {2}} -1$ 且 $d_{2} =p^{n}-2$。由 $f_u(x)=ux^{d_{1}}+x^{d_{2}}$ 定义的函数被称为 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的广义 Ness-Helleseth 函数，其中 $u\in\mathbb{F}_{p^n}$。它最初由 Ness 和 Helleseth 在三元情形下进行研究。在本文中，对于 $p^n \equiv 3 \pmod 4$ 且 $p^n \ge7$，我们给出了 $f_u(x)$ 为 APN 函数的充分必要条件。此外，对于每个满足 $\chi(u+1) = \chi(u-1)$ 的 $u$，研究了 $f_u(x)$ 的差分谱，并将其表示为三次多项式的一些二次特征和，其中 $\chi(\cdot)$ 表示 $\mathbb{F}_{p^n}$ 的二次特征。