关于与开尔文船波波型相关的一个积分的注记

开尔文船波源的速度势可以部分地用单积分 $$F(x,\rho,\alpha)=\int_{-\infty}^\infty \exp\,[-\frac{1}{2}\rho \cosh (2u-i\alpha)] \cos (x\cosh u)\,du,$$ 的空间导数来表示，其中 $(x, \rho, \alpha)$ 是以源为原点的柱极坐标，且 $-\pi/2\leq\alpha\leq\pi/2$。Bessho在1964年用一种非严格的方法给出了当 $x$ 和 $\rho$ 很小，但 $M\equiv x^2/(4\rho)$ 很大时 $F(x,\rho,\alpha)$ 的一个渐近展开式，该展开式是一个包含贝塞尔函数乘积的和。这个展开式连同附加的积分项，随后由Ursell在1988年证明。本文的目的是为 $M$ 很大的情况提供另一种渐近方法。所得的展开式由三个不同的部分组成：一个包含斯特鲁夫函数的收敛和、一个渐近级数以及一个指数小的鞍点贡献。进行了数值计算以验证我们展开式的精度。