波前问题的一个精确可解模型及其在渐近理论中的应用

本文是简短笔记 arXiv:1908.00938 的完整扩展版。将一个非平凡可解的 4 维哈密顿系统应用于波前问题以及偏微分方程的渐近理论。我们所考虑的哈密顿函数为 $H(\mathbf x,\mathbf p)=\sqrt{D(\mathbf{x})}|\mathbf{p}|$。此类哈密顿函数在描述变深度水域中由局域源产生的线性波波前时出现。我们考虑两种\emph{真实}的底部形状类型：1) 在极坐标中，水域深度由函数 $D(\varrho,\varphi)=(\varrho^2+b)/(\varrho^2+a)$ 确定；2) 深度函数为 $D(x,y)=(x^2+b)/(x^2+a)$。作为应用，我们构造了具有局域初始条件的波动方程的渐近解，以及具有局域右端项的亥姆霍兹方程的渐近解。