一个新的矩阵修正 Korteweg-de Vries 方程：Riemann-Hilbert 方法与精确解

本文首次通过 Riemann-Hilbert 方法研究具有 $p\times q$ 复值势矩阵函数的新型矩阵修正 Korteweg-de Vries（mmKdV）方程，选取特殊势矩阵可将其约化为著名的耦合修正 Korteweg-de Vries 方程。从该方程 Lax 对的特殊分析出发，我们成功建立了该方程的 Riemann-Hilbert 问题。通过引入无正则性与无反射情形的特殊条件，借助求解相应的 Riemann-Hilbert 问题，导出了 mmKdV 方程的一些有趣精确解，包括 $N$-孤子解公式。此外，基于特殊势矩阵的对称性与 $N$-孤子解公式，我们进一步对原精确解进行分类以获得其他有趣解，并均以图形展示。有趣的是，通过取不同类型的势矩阵，分析了孤子解、呼吸子型解与钟型孤子解的局部结构与动力学行为。