Sylvester 方程与椭圆 Korteweg-de Vries 系统

椭圆 Korteweg-de Vries (KdV) 系统是格点势 KdV 方程的多分量推广，其孤子解与椭圆 Cauchy 核（即环面上的 Cauchy 核）相关联。本文中，我们利用 Sylvester 型矩阵方程推广解类，并从关联的 Cauchy 矩阵重新推导该系统。我们的起点是形式为 $~\boldsymbol{k} \boldsymbol{M}+ \boldsymbol{M} \boldsymbol{k} = \boldsymbol{r} {\boldsymbol{c}}^{T}-g\boldsymbol{K}^{-1} \boldsymbol{r} {\boldsymbol{c}}^{T} \boldsymbol{K}^{-1}$ 的 Sylvester 方程，其中 $\boldsymbol{k}$ 和 $\boldsymbol{K}$ 为交换矩阵并满足矩阵关系 ${\boldsymbol{k}}^2=\boldsymbol{K}+3e_1\boldsymbol{I}+g{\boldsymbol{K}}^{-1}$。所获得的离散与连续椭圆方程由标量函数 $S^{(i,j)}$ 表述，该函数利用 $(\boldsymbol{k},\boldsymbol{K}, \boldsymbol{M}, \boldsymbol{r},\boldsymbol{c})$ 定义并构成一个无限维对称矩阵。推导了离散与连续系统的 Lax 对。根据矩阵 $\boldsymbol{k}$ 的标准型给出了 Sylvester 方程的显式解 $\boldsymbol{M}$ 以及所得椭圆方程的广义解。