Grammon 单半群的一种新方法

我们给出 Grammon 单半群的一个备用描述，具体涉及弱递增子序列。我们表明，生成子集 $\{1,\ldots, n\}$ 中的单词 $u,v$ 若满足：对于所有 $1 \leq p \leq q$，在字母表 $\{p,\ldots, q\}$ 上的最长弱递增子序列长度在 $u$ 与 $v$ 中相同，则 $u,v$ 在 Grammon 单半群中表示为同一元素。我们的证明利用由此类序列确定的 Plactic 单半群的一个特定热歌表示：我们展示了 Grammon 单半群同构于该表示的像，从而通过运用首位作者与 Kambites 的结果，立即推导出 Grammon 单半群的秩为 $n$ 满足恰好相同的 semigroup 身份，即 $n \times n$ 上上三角热歌矩阵的单半群。这给出了 Volkov 结果的一个部分推广：Volkov 证明了秩为3的 Grammon 单半群满足恰好相同的 semigroup 身份，这与 Plactic 单半群的秩为3相同，后者据称由首位作者与 Kambites 的结果表明，满足恰好相同的 semigroup 身份，即 $3 \times 3$ 上上三角热歌矩阵的单半群。此外，我们发现无限秩的 Grammon 单半群不满足任何非平凡的 semigroup 身份，并演示了 Grammon 同义关系满足一些有用的兼容性属性。