d维环面上非线性薛定谔方程的Nekhoroshev型定理

我们证明了d维环面上非线性薛定谔方程 $$iu_t=-\Delta u+V\star u+\partial_{\bar u}g(u,\bar u)\, \quad x\in \T^d,$$ 的一个Nekhoroshev型定理，其中$V$是典型的平滑势，$g$对两个变量都是解析的。更精确地说，我们证明，如果初始数据在宽度为$\rho>0$的条带内是解析的，且在该条带上的界为$\eps$，那么当$\eps$足够小时，上述非线性薛定谔方程的解在宽度为$\rho/2$的条带内保持解析性，并在该条带上以$C\eps$为界，持续非常长的时间，阶为$\eps^{-\alpha|\ln \eps|^\beta}$，其中$C> 0$、$\alpha>0$和$\beta<1$为某些常数。