具有加权 $L^1$ 势的 1 维非线性薛定谔方程

我们考虑具有无束缚态的大外部势 $V$ 的 1 维三次非线性薛定谔方程。在关于 $V$ 的温和假设下，我们证明小解的全局正则性与定量界。特别地，我们不要求 $V$ 的任何可微性，且所设空间衰减假设弱于文献中所见者（例如见 \cite{Del,N,GPR}）。我们处理一般势与非一般势两种情况，后者附有一些额外对称性假设。我们的方法基于三个主要要素的结合：适配于薛定谔算子的傅里叶变换、利用 Jost 函数结构的伪微分算子基本界，以及改进的局部衰减与光滑型估计。证明中一个有趣的方面是关于向量场合适概念的“近似交换”恒等式，它使我们简化先前方法并将已知结果扩展到更大类势。最后，在我们的弱假设下，我们可纳入有趣的物理情形——势垒势，并恢复 \cite{MMS} 关于 delta 势的结果。