非线性弹性中 Hu-Washizu 变分原理的几何方法
数学物理
2020-09-02 v1 math.MP
摘要
我们从几何角度讨论 Hu-Washizu（HW）变分原理。本方法的核心是将参考构型和变形构型的余切丛上定义的量作为原始量处理。这种处理引入了相容方程，使得底空间（固体的构型）可实现为欧氏空间的子集。Cartan 活动标架法及相关的结构方程确立了这一相容性。此外，它们允许我们用 1-形式写出度量和联络。借助微分流形提供的数学工具，我们用标架场和余标架场重写变形梯度和 Cauchy-Green 变形张量。将应力理解为余向量值 2-形式与我们的整体方案完全契合。我们还表明，对于超弹性固体，可针对应力 2-形式的余向量部分写出类似于 Doyle-Erciksen 公式的方程。利用这一运动学和动力学理解，我们用标架和微分形式重写 HW 泛函。最后，我们表明，当相对于牵引 1-形式、变形 1-形式和变形进行变分时，变形的相容性、本构规则和平衡方程可作为 HW 泛函的 Euler-Lagrange 方程得到。这种涉及运动学闭包概念的新视角精确阐明了变分原理上必要的几何限制，若无这些限制变形体可能无法实现为欧氏空间的子集。它也为如何在非欧设置中调整这些限制提供了指引。
引用
@article{arxiv.2009.00275,
title = {A geometric approach to Hu-Washizu variational principle in nonlinear elasticity},
author = {Bensingh Dhas and Debasish Roy},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.00275},
year = {2020}
}