位错力学的几何建模与数值分析

本研究在微分几何框架下对位错进行数学建模与数值分析。基本构型，即参考构型、中间构型与当前构型，被表示为配备黎曼度量与 Weitzenböck 联络的黎曼–嘉当流形。中间构型上的挠率 2-形式通过位错密度的 Hodge 对偶获得，相应的丛同构服从亥姆霍兹分解。该分析引入了塑性变形的边界条件。利用弱形式变分表达式与等几何分析，对嘉当第一结构方程与应力平衡方程进行数值求解。本研究的数值分析首次揭示了螺位错与刃位错周围塑性变形场的分布。其还展示了位错周围的应力场，其中远场与经典 Volterra 理论完全吻合，同时消除了经典方法在位错处引入的奇点。所展示的应力场因其中包含的几何非线性而具有若干特征。我们还证明自由表面以不同方式影响塑性与弹性变形。本研究的数学框架适用于任意位错构型。