螺位错非线性力学中的几何挫折

应力奇点的存在以及对线性近似的依赖，给理解位错周围的应力场产生机制带来了重大挑战。本研究采用微分几何和变分法对螺位错进行数学建模和数值分析。位错的运动学由 Riemann--Cartan 流形的微分同胚表示，其中包括黎曼度规和仿射联络。建模始于位错密度的连续分布，该分布通过 Hodge 对偶转化为挠率 $\tau$。塑性泛函是通过对束同构应用 Helmholtz 分解构建的，这等价于中间构型 $\mathcal{B}$ 的 Cartan 第一结构方程。当前构型是通过将 $\mathcal{B}$ 弹性嵌入到标准欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 导出的。数值分析表明，弹性应力场有效地消除了沿位错线的奇点，并且在位错核心之外与 Volterra 理论表现出极好的一致性。几何挫折是位错应力场的直接来源，这一点已通过变形梯度的乘法分解得到证明。利用 Riemann--Cartan 流形的数学性质，我们证明了 Ricci 曲率决定了应力场的对称性。这些结果证实了一个长期存在的数学假设：应力与曲率之间的对偶性。