通过分圆多项式对 MacMahon 级数的推广

大约一个世纪前，P. A. MacMahon 引入了一类 $q$-级数，如今被称为 MacMahon 级数。最近，2013 年，G. E. Andrews 和 S. C. F. Rose 揭示了这些级数的拟模性质。在本文中，我们引入了 MacMahon 级数的一个推广。具体而言，对于任意正整数 $t, k, N$ 和一个多项式 $Q(x)$，我们使用 $N$ 次分圆多项式定义级数 $\mathcal{U}_{t, k; N}(Q; q)$ 和 $\mathcal{U}_{t, k; N}^{\star}(Q; q)$。为了研究这些级数，我们应用了涉及欧拉多项式的分解公式，并用高斯和表示 $N$ 次单位根。通过结合这些结果推导显式表示，我们证明了我们的级数作为更高权和更高水平的拟模形式出现。此外，我们表明它们可以表示为等权多项式。特别地，我们表明由 C. Nazaroglu、B. V. Pandey 和 A. Singh 引入的单参数推广是我们理论的一个特例。