MacMahon 类除数和：奇数情形的算术性质

百年前，P. A. MacMahon 引入了两族生成函数，$$\sum_{1\leq n_1<n_2<\cdots<n_t}\prod_{k=1}^t\frac{q^{n_k}}{(1-q^{n_k})^2} \quad\text{和 } \sum_{\substack{1\leq n_1<n_2<\cdots<n_t\ \text{$n_1,n_2,\dots,n_t$ 为奇数}}}\prod_{k=1}^t\frac{q^{n_k}}{(1-q^{n_k})^2},$$ 将除数和函数与整数分区相联系。这些最近受到重新关注。特别是，Amdeberhan、Andrews 和 Tauraso 将上述第一族推广，定义 $$U_t(a,q):=\sum_{1\leq n_1<n_2<\cdots<n_t}\prod_{k=1}^t\frac{q^{n_k}}{1+aq^{n_k}+q^{2n_k}}$$ for $a=0, \pm1, \pm2$，并研究了各种性质，包括这些系数的幂级数表示所满足的若干同余式。这些算术方面随后由本文作者进一步扩展。本文旨在推广其中第二个生成函数族，其中求和范围为奇数，然后应用类似技术，展示与相关幂级数系数的若干新的类 Ramanujan 同余式。