柱面上反应扩散方程行波的一种 Floer 同调方法

我们为行波偏微分方程的有限解动力学开发了一个新的同调不变量 $$\left\{ \begin{array}{l l} \partial_t^2 u - c \partial_t u + \Delta u + f(x,u) = 0 \qquad & t \in \mathbf{R},\; x \in \Omega, \newline B(u) = 0 & t \in \mathbf{R},\; x \in \partial \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $c \neq 0$，$\Omega \subset \mathbf{R}^d$ 为有界域，$\Delta$ 为 $\Omega$ 上的拉普拉斯算子，$B$ 表示 Dirichlet、Neumann 或周期边界数据。对非线性项 $f$ 的限制保持到最小，例如，任何在 $u$ 中展现多项式增长的非线性项均可考虑。特别地，行波偏微分方程的有限解集合未必一致有界。尽管如此，该同调在非线性项 $f$ 的低阶（但不一定小）扰动下不变，从而使得该同调易于计算。利用这一新不变量，我们导出了行波偏微分方程有限解个数的下界。