利用 Conley-Floer 同调研究非局部耦合系统中的大尺度波前

在本文中，我们研究如下类型的非局部方程的行波波前解 \begin{equation} \partial_t u = N * S(u) + \nabla F(u), \qquad u(t,x) \in \mathbf{R}^d. \end{equation} 这里 $N *$ 表示空间变量 $x \in \mathbf{R}$ 中的卷积型算子，可以是连续的或离散的。我们发展了 Morse 型理论，即 Conley--Floer 同调，它以拓扑稳健的方式捕捉行波波前解，通过将波前编码到链复形的边界算子中。描述行波波前的方程同时涉及前向和后向延迟项，可能具有无限范围。因此，这些方程缺乏自然的相空间，使得经典的动力学系统工具无法使用。因此我们从无到有地发展了一般的横截性理论，以及在缺乏相空间情况下的有界解分类。在各种情形下，所得的 Conley--Floer 同调可解释为多值向量场的同调 Conley 指标。利用 Conley--Floer 同调，我们导出了关于行波波前解的存在性与多重性结果。