由恒星动力学引出的指数积分族

在将 Chandrasekhar（1943）动力学摩擦推广到场星具有幂律质量谱和均分 Maxwell-Boltzmann 速度分布的情形时，出现了一对涉及误差函数的二维积分，其以指数积分表示的闭式解见于 Ciotti（2010）。此处我们表明，这两个积分都是（实）函数族的极特殊情形：$$I(\lambda,\mu,\nu; z) :=\int_0^zx^{\lambda}\,\Enu(x^{\mu})\,dx= {\gamma\left({1+\lambda\over\mu},z^{\mu}\right) + z^{1+\lambda}\Enu(z^{\mu})\over 1+\lambda + \mu (\nu -1)}, \quad \mu>0,\quad z\geq 0, \eqno (1)$$ 其中 $\Enu$ 为指数积分，$\gamma$ 为不完全 Euler gamma 函数，且为存在性要求 $\lambda >\max \left\{-1,-1- \mu(\nu -1)\right\}$。在所查阅的积分表中仅出现了一个相关积分，经一定推导可化为式 (1)，而计算机代数系统似乎仅在对部分参数赋予数值时才能以闭式（且更复杂）求出该积分。此处我们展示式 (1) 事实上可借初等方法建立。